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一. 机电一体化设计和制造

1.1 电机和电调

电机：Maxon EC-45-flat 50W

电调：Maxon DEC 36/2 modules，digital four quadrant brushless，已停产，选用同类型Maxon电调

电调必须能保证在高频下能提供精准的力矩，并保持和电流的线性关系。像ETH Zurich选用的Maxon电机，就能在不加减速器的情况下还有每安培36.9毫牛的高输出。 $T = K_m u$

1.2 倾角估计

整个系统的角度是由六个加速度计，三组加速度计对估计出来的，没有用陀螺仪。一维模型是用两个共轴加速度计的原始数据做差得到的，三维模型则用第五篇论文[5]里提到的最小二乘法来估计。

1.3 刹车

直接用飞轮加刹车皮，很难做到完全刹死。如果不能快速将速度降到零，整个跳起的动作就无法完成，需要用好一点的刹车系统，正在测试自行车的碟刹器。

二. 系统动力学

2.1 非线性运动学和动力学

在第二篇论文中，和四旋翼动力学类似，取水平为空间坐标系，立起来为体坐标系，选zyx欧拉角建模。经过分析对线动量，角动量，外力和外力矩守恒的凯恩方程，算出了在空间坐标系下角速度关于zyx欧拉角的关系式。这个关系是非线性而且耦合的，得先线性化，和四旋翼控制很像。

在第三篇论文中，引入了拉格朗日值和广义动量，开始没看明白，后来发现能大大简化状态空间的表达。

2.2 线性化

在直立平衡点做线性化。取三个欧拉角，外框角速度，和飞轮角速度九个状态建模。 $\left\{ \phi , \omega _h, \omega_w \right\}$

三. 状态空间识别

$x = [\theta _b , \dot{\theta_b} , \dot{\theta_w} ]$ 第一版在一维模型中选用支架角度，支架角速度，和飞轮角速度建模，中规中矩。
$x = [\phi , \omega _h , \omega _w ]$ 第二版在三维模型中选用支架欧拉角，欧拉角速度，和飞轮角速度建模，状态数从一维的三个升到了三位的九个，虽然其中有一个状态不可测，四个状态不可控。
$x = [\varphi , p_\varphi , p_\psi ]$ 第三版引入了广义动量，开始看不懂为什么，硬着头皮看到了第四版...先把广义动量的定义放在这：
系统的拉格朗日值是： $\mathcal{L} = \frac{1 }{2 } \Theta _0 \dot{\varphi }^2 + \frac{1 }{2 } \Theta _w (\dot{\varphi } + \dot{\psi } )^2 - m g cos(\varphi )$
支架的广义动量是： $p_\varphi := \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial \dot{\varphi } } , \dot{ p_\varphi } := \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial \varphi }$
飞轮的广义动量是： $p_\psi := \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial \dot{\psi } } , \dot{ p_\psi } := \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial \psi } + T$
$x = [ g, p_{\omega_h } , p_{\omega_w } ]$

$\dot{ p_{\omega _w} } = \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial \psi } + T = T$

[1] M. Gajamohan, M. Merz, I. Thommen, and R. D’Andrea, “The Cubli:

A cube that can jump up and balance”, in IEEE/RSJ International

Conference on Intelligent Robots and Systems (IROS), 2012, pp. 3722–

3727.

[2] M. Gajamohan, M. Muehlebach, T. Widmer, and R. D'Andrea, “The

Cubli: A reaction wheel based 3D inverted pendulum”, in Proceedings

of the European Control Conference, 2013.

[3] M. Muehlebach, M. Gajamohan, and R. D'Andrea, "Nonlinear analysis and control of a reaction wheel-based 3D inverted

pendulum", In Conference on Decision and Control, pages 1283–1288,

2013.

[4] M. Muehlebach, and R. D'Andrea, "Nonlinear Analysis and Control of a Reaction Wheel-Based 3-D Inverted Pendulum", IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2016

[5] S. Trimpe and R. D’Andrea, “Accelerometer-based tilt estimation of

a rigid body with only rotational degrees of freedom,” in Robotics

and Automation (ICRA), 2010 IEEE International Conference on, May

2010, pp. 2630 –2636